OS PRIMÓRDIOS DA MATEMÁTICA

A matemática no Antigo Egito

A civilização ocidental considera que a ciência, entendida como um produto do pensamento abstrato, surgiu na Grécia. Contudo, culturas mais antigas, como a egípcia, também tinham um amplo saber científico, apesar de o obterem da prática diária. (ao lado o Papiro de Rhind)

 

Os vestígios por meio dos quais se conhece a civilização egípcia falam de uma sociedade que soube erguer grandes construções sem a ajuda de máquinas e que durou por mais de 3000 anos graças a um cuidadoso controle dos recursos. Uma cultura que conseguiu tais proezas tinha de possuir amplos conhecimentos de disciplinas como a álgebra e a geometria. O bom funcionamento da economia do país se fundamentava em uma ciência matemática desenvolvida de forma empírica (experiência). A descoberta de diversos papiros sobre o tema permite saber que dominavam duas das quatro operações aritméticas básicas:

• somar e
• subtrair, mas também
• multiplicavam e
• dividiam

No entanto, os seus conhecimentos não ficavam nisso, também realizavam cálculos matemáticos mais complexos, como as equações de primeiro grau.

– A matemática era aplicada a vários aspectos da vida cotidiana: 

1. No campo administrativo, a geometria servia para restabelecer as fronteiras entre os diferentes sepatu em que o país estava dividido. 
2. Também permitia que se restabelecessem os limites das explorações agrícolas quando aqueles desapareciam anualmente devido às cheias do Nilo. 
3. A aritmética ajudava a calcular os recursos de que se dispunha e a estabelecer os impostos que a população devia pagar. Dessa forma, o Estado podia fazer face às variações das cheias do Nilo e proporcionar alimentos aos súditos quando as inundações provocassem más colheitas. 
4. Nas construções, a criação artística e a cartográfica, os arquitetos sabiam calcular a área do quadrado, do retângulo, do triângulo e do círculo, assim como o volume de várias figuras geométricas, em particular da pirâmide. 
5. Os escultores e os pintores conheciam as proporções do corpo humano e reproduziam-nas a partir de uma quadrícula, ou régua, enquanto osescribas traçavam planos esquemáticos das povoações.

Os tratados de Matemática______________

As noções de matemática patentes nos papiros baseiam-se em conhecimentos adquiridos com a prática. O tratado mais importante que chegou até aos nossos dias encontra-se no Papiro Rhind, atualmente no Museu Britânico, data de aproximadamente 1660, embora o seu conteúdo tenha sido copiado pelo escriba Ahmose de um texto mais antigo. Contém 84 exercícios de álgebra nos quais aparecem frações com numerador 1 e, especialmente, com numerador 2. Há também, noções relativas ao cálculo de superfície. Outros papiros mostram, que os egípcios sabiam estabelecer as relações existentes entre os ângulos e os lados de um triângulo.

Os instrumentos de medição___________

No túmulo do arquiteto Kha, que trabalhou sob as ordens do faraó Amenhotep II, foram encontradas duas réguas graduadas, uma delas é de madeira folheada a ouro e foi oferecida ao funcionário pelo próprio faraó. A outra, simplesmente de madeira, pode ser dobrada ao meio e foi guardada com a bolsa de couro.

A supervisão da colheita______________

Uma das missões do escriba consistia em fazer uma estimativa do rendimento dos campos de cereais, juntamente com um supervisor real, media os campos. A medição do campo eram medidas com uma corda graduada. A partir dos dados registrados, calculava a quantidade de grãos que o camponês podia obter. A previsão era posteriormente comparada com o volume real da colheita, tentando-se assim evitar qualquer tipo de fraude.

O dedo era a subdivisão mínima do côvado real, a partir da qual se fixavam as demais. O palmo equivalia a quatro dedos correspondendo à sétima parte do côvado real. A régua tinha vinte e oito frações ou dedos em que se dividia o côvado real.

As medidas de comprimento_______________________________________ 

a função que o Estado exercia na organização das terras, no controle dos impostos e na realização de grandes obras arquitetônicas obrigou, desde muito cedo, a fixar os sistemas adequados para medir o comprimento, a superfície, o volume e o tempo. O côvado era a unidade básica das medidas de comprimento. A sua extensão era o espaço compreendido entre o cotovelo de uma pessoa e a extremidade do dedo médio.

Durante a III dinastia, o côvado foi aumentando e recebeu o nome de côvado real – media aproximadamente 52,3 cm. O côvado tinha várias subdivisões:  

• O palmo (chesep), que equivalia à sétima parte do côvado.

• A vigésima oitava parte do côvado era o dedo (djeba).

• Múltiplos do côvado, como o nebiu, que equivalia a um côvado médio.

• Outro múltiplo do côvado era o khet, equivalia a 100 côvados.

• Múltiplo adequado para os grandes comprimentos era o iteru, que equivalia a 20.000 côvados e media aproximadamente 10,5 km.

MATEMÁTICA NA MESOPOTÂMIA

As civilizações antigas da Mesopotâmia são comumente chamadas de babilônicas, apesar de que a cidade de Babilônia não foi o centro de cultura do vale Mesopotâmico.

A região sofreu diversas invasões de outros povos, mas que ao invés de interferirem negativamente em sua cultura, ao contrário aprenderam e adotaram muitos conhecimentos dos mesopotâmicos.

A escrita era a cuneiforme, que talvez tenha surgido até mesmo antes da hieroglífica dos egípcios. O fato é que as cerâmicas, tabuletas, com escrita cuneiforme fornecem muito mais informação dos que os papiros egípcios devido a sua conservação.

Ao contrário da maioria das civilizações o sistema numérico mesopotâmico tinha como base o valor sessenta. Acredita-se que o sistema de base sessenta tenha sido usado por ser possível sua subdivisão em metades, quartos, quintos, sextos, décimos, etc...até dez divisões são possíveis.

Até hoje, o sucesso desse sistema se reflete em nossas unidades de tempo e medida de ângulos.

Aos babilônios se deve a invenção do sistema posicional. Com apenas seus símbolos para unidades e dezenas, podiam representar qualquer número, por maior que fosse, por repetição e mudança de posição. Este é o mesmo princípio de nosso sistema numeral.

Nosso número 222 usa o mesmo algarismo três vezes, com significado diferente de cada vez: uma vez vale duas unidades, outra vale duas dezenas e a última duas centenas (duas vezes o quadrado da base dez).

Quando escreviam ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ , separando claramente grupos de dois símbolos, entendiam que o primeiro grupo a direita representava duas unidades, o segundo o dobro de suas base (60) e o terceiro, o dobro do quadrado de sua base. Portanto esse numeral indicava 2(60)2 + 2(60) + 2 = 7322 (em nossa notação).

Os babilônios, a principio parecem não ter tido um modo de representar o vazio (zero). Não havia notação para zero, embora às vezes deixassem um espaço em branco para indicar zero. Isso confundia as formas escritas para alguns números como 22 e 202. Criou-se, mais tarde, um símbolo para zero, mas que só era usado em posições intermediárias.

A superioridade matemática dos mesopotâmicos sobre os egípcios está em que aqueles estenderam a notação posicional às frações.

O que significa que a notação decimal das frações que conhecemos já era por eles conhecida, sendo que foram capazes de calcular a raiz quadrada de dois com até três casas sexagesimais.

Já manipulavam bem, equações usando palavras como incógnitas, num sentido abstrato. Conheciam bem o processo de fatoração.

A resolução de equações quadráticas e cúbicas também os coloca em destaque com relação a matemática dos egípcios. Este tipo de resolução é um feito notável, admirável não tanto pelo alto nível de habilidade técnica quanto pela maturidade e flexibilidade dos conceitos algébricos envolvidos. E por que se espantar com seu alto nível e amadurecimento, se foi deles que aprendemos o que sabemos e que nos autoriza a elogiá-los?

O que certamente nos dá essa autorização é o nosso simbolismo algébrico, sem o qual não podemos ter certeza de entender o raciocínio da matemática primitiva.

Assim, para nós, é fácil ver que (ax)3 + (ax)2 = b é essencialmente o mesmo tipo de equação que y3 + y2 = b, mas reconhecer isso sem nossa notação é uma realização de significado muito maior para o desenvolvimento da matemática que até mesmo o princípio posicional na aritmética.

Algum desenvolvimento geométrico pode ser constatado com tabuletas que indicavam relações entre os lados de um triângulo. Apesar de não se poder ter certeza, acredita-se que os Mesopotâmicos conheciam também as fórmulas gerais de progressão geométrica e a soma dos n primeiros quadrados perfeitos. No entanto, como nos papiros egípcios, as tabuletas Mesopotâmicas não descreviam os procedimentos mas apenas davam as questões e os resultados.

O Teorema de Pitágoras não se encontra expresso em nenhuma tabuleta ou lista, mas certamente era conhecido e usado e não só em triângulos isósceles. Foi encontrado um problema em que uma escada ou prancha de comprimento 0;30 (1/2 na nossa notação) está apoiada a uma parede; a questão é de quanto a extremidade inferior se afastará da parede se a superior escorregar para baixo de uma distância de 0;6 unidades? A resposta é encontrada corretamente usando o teorema de Pitágoras.

Toda a matemática desenvolvida por babilonios e egípcios dá a entender que se originava de questões concretas, imediatas. Mas, mesmo assim, há alguns indícios de abstração e de matemática por recreação.